Что такое метод расширяющегося дерева?

Инструмент CME FedWatch использует структуру «расширяющегося дерева» для расчёта вероятностей решений Федеральной резервной системы по ставке. Метод называется «расширяющимся», потому что он строит ветвящуюся структуру, которая растёт с каждым последующим заседанием FOMC, отображая все возможные последовательности изменений ставки.

Почему «расширяющееся дерево»?

Каждое заседание FOMC предполагает два основных исхода: либо ФРС меняет ставку на 25 базисных пунктов (вверх или вниз), либо оставляет её без изменений. После одного заседания возможны два уровня ставки. После двух заседаний возможны три уровня ставки (но четыре разных пути их достижения). После трёх заседаний возможны четыре уровня ставки, достижимые восемью разными путями.

Именно этот комбинаторный рост — когда каждое заседание удваивает число путей — создаёт структуру «дерева». Методология CME присваивает вероятности каждой ветви на основе цен фьючерсов на федеральные фонды, а затем прослеживает все возможные пути вперёд, чтобы рассчитать вероятность различных исходов по ставке на несколько заседаний вперёд.

Метод CME рассчитывает вероятность каждого пути через это дерево с помощью цен фьючерсов. Его называют «золотым стандартом», потому что он прозрачен, систематичен и используется во всём мире.

Что вы узнаете на этой странице

7 ключевых допущений, на которых строится методология CME
Пошаговый разбор: как рассчитываются вероятности
Реальный пример из сентября 2022 года
Как дерево расширяется на несколько заседаний вперёд
Где метод работает хорошо, а где у него есть ограничения

Инструмент CME FedWatch использует расширяющееся бинарное дерево вероятностей для извлечения подразумеваемых рынком вероятностей решений FOMC по ставке из цен 30-дневных фьючерсов на федеральные фонды. Эта методология представляет собой наиболее широко используемый деривативный подход к извлечению рыночных ожиданий по денежно-кредитной политике.

Ключевая идея: Структура расширяющегося дерева элегантно решает задачу преобразования непрерывной информации о ценах фьючерсов в дискретные распределения вероятностей по нескольким последовательным политическим решениям. Задавая структуру (бинарное ветвление в каждом узле) при сохранении гибкости (адаптация к рыночному ценообразованию), методология балансирует между вычислительной простотой и чувствительностью к рынку.

Теоретическая основа: Подход опирается на фундаментальную теорему теории ценообразования активов, которая устанавливает существование риск-нейтральной вероятностной меры, при которой цены фьючерсов равны ожидаемым спот-ставкам. Для фьючерсов на федеральные фонды с детерминированными краткосрочными ставками в течение срока контракта это упрощается до:

$$\text{Futures Price}_t = 100 - E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Average EFFR during contract month}]$$ where $\mathbb{Q}$ denotes the risk-neutral measure

Структура страницы

Эта страница содержит исчерпывающую техническую документацию методологии расширяющегося дерева CME:

Семь фундаментальных допущений — критические упрощения, обеспечивающие вычислительную реализуемость
Математический аппарат — формальный вывод процедуры извлечения вероятностей
Протокол расчёта — пошаговая алгоритмическая реализация
Разобранный пример — полный разбор вероятностей заседания FOMC в сентябре 2022 года
Логика расширения дерева — правила распространения на несколько будущих заседаний
Методологические ограничения — известные режимы отказа и граничные случаи

Семь фундаментальных допущений

Чтобы метод CME работал, ему нужно сделать несколько упрощающих допущений. Они не всегда абсолютно точны, но в большинстве случаев достаточно близки к реальности, чтобы давать хорошие прогнозы.

Допущение 1: Дискретные изменения на 25 базисных пунктов

Что это значит: ФРС меняет ставку шагами по четверти процентного пункта (0,25%)

Проверка реальностью: Обычно так и есть! ФРС предпочитает шаги по 25 б.п. Но в чрезвычайных ситуациях (как в 2022 году) иногда используются шаги по 50 или 75 б.п.

Допущение 2: EFFR реагирует пропорционально

Что это значит: Когда ФРС повышает целевой уровень на 25 б.п., эффективная ставка по федеральным фондам (та, что реально торгуется на рынке) тоже повышается на 25 б.п.

Проверка реальностью: Очень близко к истине при нынешней системе избыточных резервов

Допущение 3: Нулевая нижняя граница

Что это значит: Процентные ставки не могут опускаться ниже нуля

Проверка реальностью: Верно для США. (В некоторых других странах, например у ЕЦБ, ставки были отрицательными, но это отдельная история.)

Допущение 4: Бинарные исходы на каждом заседании

Что это значит: На каждом заседании ФРС может произойти только одно из двух — либо то, что ожидает рынок, либо на один шаг иначе (повышение или снижение на 25 б.п.)

Проверка реальностью: Это упрощение. Иногда рынок действительно не уверен между тремя исходами.

Допущение 5: Изменения только на плановых заседаниях

Что это значит: ФРС меняет ставку только на своих 8 плановых заседаниях в год, никогда — между заседаниями

Проверка реальностью: Обычно верно. Экстренные внеплановые изменения редки (последнее было в марте 2020 года во время COVID)

Допущение 6: Условие непрерывности

Что это значит: Ставка на конец одного месяца равна ставке на начало следующего месяца

Проверка реальностью: Верно! Ставки не совершают скачков между месяцами за одну ночь.

Допущение 7: Риск-нейтральное ценообразование

Что это значит: Цены фьючерсов отражают то, что трейдеры ожидают, а не то, чего они боятся или на что надеются

Проверка реальностью: Не совсем! Исследования показывают, что цены фьючерсов включают «премию за риск» — трейдеры платят немного больше за своего рода страховку. Мы обсудим это позже.

Методология расширяющегося дерева CME опирается на семь фундаментальных допущений, которые сводят задачу извлечения вероятностей к вычислительно реализуемой форме. Понимание этих допущений критически важно для оценки того, когда методология даёт надёжные ориентиры, а когда необходимы альтернативные подходы.

Допущение 1: Дискретные изменения ставки шагами по 25 б.п.

$$\Delta \text{EFFR} \in \{..., -50, -25, 0, +25, +50, ...\} \text{ basis points}$$

Обоснование: Федеральная резервная система демонстрирует устойчивое предпочтение шагам в четверть пункта начиная с середины 1990-х годов, что отражает стремление к постепенности и предсказуемости в реализации политики.

Нарушения: Допущение нарушается в кризисные периоды, когда ФРС совершает более крупные шаги (изменения на 50 или 75 б.п. происходили в 2001–2002, 2008 и 2022–2023 годах). Методология адаптируется, рассчитывая вероятности для более крупных шагов, но структура бинарного дерева не способна представить по-настоящему тримодальные распределения, где значимая вероятностная масса приходится сразу на три различных исхода.

Допущение 2: Пропорциональная реакция EFFR

$$\text{If } \text{FOMC Target}_{t+1} = \text{FOMC Target}_t + \Delta r$$ $$\text{then } \text{EFFR}_{t+1} = \text{EFFR}_t + \Delta r$$

Обоснование: В рамках нынешней системы избыточных резервов, где основным инструментом выступает процент по резервным остаткам (IORB), EFFR отслеживает IORB (середину целевого диапазона FOMC) с минимальным спредом, как правило, 1–5 базисных пунктов.

Исторический контекст: Это допущение зависит от режима. Оно хорошо выполняется в условиях избыточных резервов (2020 год — настоящее время), но не выполнялось бы в коридорной системе до 2008 года или в режиме дефицита резервов 2017–2019 годов.

Допущение 3: Нулевая нижняя граница (ZLB)

$$\text{EFFR}_t \geq 0 \quad \forall t$$

Обоснование: В институциональном контексте США отрицательные номинальные процентные ставки сталкиваются с юридическими и операционными препятствиями. Федеральная резервная система последовательно заявляет, что отрицательные ставки не рассматриваются как жизнеспособный инструмент политики.

Замечание по странам: Это допущение выполняется не универсально — ЕЦБ, Банк Японии, Национальный банк Швейцарии и другие вводили отрицательные ключевые ставки. Применение методологий в стиле CME к этим юрисдикциям требует модификации.

Допущение 4: Структура бинарного ветвления

$$\text{At each FOMC meeting: } |\{\text{possible outcomes}\}| = 2$$

Обоснование: Бинарная структура значительно упрощает вычисления. В каждом узле рынок может присвоить вероятность $p$ одному исходу и $(1-p)$ другому, извлекаемую из дробной части ожидаемого изменения ставки.

Ограничения: Это наиболее существенное упрощение методологии. В периоды подлинной неопределённости (например, в начале 2023 года, когда рынки колебались между сохранением, повышением и снижением ставки) сведение к двум исходам искажает истинное распределение вероятностей. Инструмент не способен нативно представить сценарии, где $P(\text{исход } A) = 0.4$, $P(\text{исход } B) = 0.35$ и $P(\text{исход } C) = 0.25$.

Допущение 5: Отсутствие внеплановых изменений между заседаниями

$$\Delta \text{FOMC Target}_t = 0 \quad \text{if } t \notin \{\text{scheduled FOMC dates}\}$$

Обоснование: Внеплановые изменения ставки исторически редки и происходят только при исключительных обстоятельствах (11 сентября 2001 года, финансовый кризис 2008 года, кризис COVID в марте 2020 года). Их редкость оправдывает их исключение из базовых расчётов вероятностей.

Режим отказа: В периоды острых кризисов, когда внеплановые действия становятся возможными, фьючерсные рынки могут закладывать вероятности, которые методология не в состоянии корректно разложить, что приводит к противоречивым оценкам вероятностей.

Допущение 6: Непрерывность на границах месяцев

$$\text{EFFR(End)}_t = \text{EFFR(Start)}_{t+1}$$

Обоснование: Ставки не совершают разрывных скачков при переходе между месяцами. Это условие непрерывности позволяет методологии распространять информацию о ставке вперёд и назад через месяцы-«якоря», в которых нет заседаний FOMC.

Техническая роль: Это допущение критически важно для правил распространения алгоритма и обеспечивает уравнения-ограничения, необходимые для решения задачи о начальных и конечных ставках внутри месяцев с заседаниями FOMC.

Допущение 7: Риск-нейтральная вероятностная мера

$$\text{Futures Price}_t = E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Spot Rate}_{t+h}]$$ $$\text{where probabilities are under risk-neutral measure } \mathbb{Q}$$

Обоснование: Стандартная теория ценообразования деривативов устанавливает, что цены фьючерсов отражают риск-нейтральные ожидания. Это допущение позволяет напрямую извлекать вероятности из уровней цен.

Критическая оговорка: Обширная эмпирическая литература (Piazzesi & Swanson 2008; Hamilton & Okimoto 2011) документирует, что фьючерсы на федеральные фонды содержат значимую положительную премию за риск в среднем 35–61 базисный пункт в год, которая является контрциклической и предсказуемой. Методология извлекает риск-нейтральные, а не физические вероятности. Для прогнозирования политики (в отличие от измерения рыночных настроений) корректировка на премию за риск становится необходимой.

Методологические следствия

Эти семь допущений в совокупности определяют область применимости методологии CME:

Оптимальная работа: Нормальные условия политики с плановыми заседаниями, шагами в четверть пункта и низкой неопределённостью (условия в стиле «великого спокойствия»)
Сниженная точность: Кризисные периоды, переходы между режимами политики или ситуации с действительно распределённой вероятностью по нескольким исходам
Режимы отказа: Экстренные внеплановые изменения, условия отрицательных ставок (без модификации) или крупные шаги (75 б.п. и более), не предусмотренные бинарной структурой

Расчётная схема

Теперь разберём, как именно метод CME рассчитывает вероятности. Разложим это на простые шаги.

Общая картина: что мы пытаемся найти?

Мы хотим узнать: какова вероятность того, что ФРС повысит, снизит или сохранит ставку на следующем заседании?

Чтобы выяснить это, мы используем:

Текущую ставку ФРС
Цены фьючерсов на месяцы с заседаниями ФРС
Даты заседаний ФРС
Немного математики, чтобы связать всё это воедино!

Ключевая идея: месяцы-якоря

Что такое «месяц-якорь»?

Месяц-якорь — это месяц БЕЗ заседания ФРС. Такие месяцы очень полезны, потому что всё просто — ставка не меняется в течение всего месяца! Цена фьючерса напрямую сообщает нам, какой будет ставка.

Пример: Если в октябре нет заседания ФРС, а октябрьский фьючерс стоит 96,94, то мы знаем, что средняя ставка за октябрь составит 100 - 96,94 = 3,06%.

Семь шагов

Шаг 1: Определить месяцы-якоря

Посмотрите на график заседаний ФРС. Найдите месяцы без заседаний. Они дают нам фиксированные точки отсчёта.

Пример: Если ФРС заседает в сентябре, ноябре и декабре, то октябрь — месяц-якорь.

Шаг 2: Рассчитать начальные ставки

Для месяцев с заседаниями ФРС определите, какой будет ставка в начале месяца (до заседания).

Мы используем месяц-якорь, чтобы помочь себе. Поскольку ставка в конце сентября равна ставке в начале октября (это допущение о непрерывности), мы можем двигаться в обратном направлении.

Шаг 3: Рассчитать конечные ставки

Цена фьючерса сообщает нам среднюю ставку за весь месяц. Поскольку мы знаем начальную ставку и сколько дней приходится до и после заседания, мы можем рассчитать, какой должна быть конечная ставка.

Формула: Конечная ставка = (Средняя ставка × Дней в месяце - Начальная ставка × Дней до заседания) ÷ Дней после заседания

Шаг 4: Рассчитать ожидаемое изменение

Простое вычитание: Ожидаемое изменение = Конечная ставка - Начальная ставка

Это показывает, насколько, по мнению рынка, ФРС изменит ставку.

Шаг 5: Перевести в единицы по 25 б.п.

Разделите ожидаемое изменение на 0,25 (поскольку ФРС меняет ставку шагами по 25 б.п.).

Пример: Если ожидаемое изменение составляет 0,725%, то 0,725 ÷ 0,25 = 2,9

Шаг 6: Извлечь вероятности

Разбейте это число на две части:

Характеристика: целая часть числа (в нашем примере: 2)
Мантисса: дробная часть (в нашем примере: 0,9)

Затем:

Вероятность (характеристика × 25 б.п.) = 1 - мантисса = 1 - 0,9 = 0,1 или 10%
Вероятность ((характеристика + 1) × 25 б.п.) = мантисса = 0,9 или 90%

В данном случае: 10% вероятность повышения на 50 б.п., 90% вероятность повышения на 75 б.п.

Шаг 7: Расширить на следующее заседание

Повторите весь процесс для следующего заседания ФРС, используя конечную ставку с этого заседания в качестве новой начальной точки.

Формальный математический вывод

Методология CME проходит через семь систематических шагов для извлечения вероятностей из цен фьючерсов. Формализуем каждый шаг математически.

Шаг 1: Определение месяцев-якорей

Определим множество дат заседаний FOMC:

$$\mathcal{M} = \{m_1, m_2, ..., m_8\} \subset \text{Year}$$

Месяц $t$ является месяцем-якорем, если:

$$t \notin \{month(m_i) : m_i \in \mathcal{M}\}$$

Для месяцев-якорей связь прямая:

$$\text{EFFR(Avg)}_t = 100 - \text{Futures Price}_t$$

Шаг 2: Применение ограничения непрерывности

Допущение о непрерывности устанавливает:

$$\text{EFFR(End)}_{t-1} = \text{EFFR(Start)}_{t+1}$$

Это даёт граничные условия для решения системы. Если месяц $t$ — якорь, а $t+1$ содержит заседание FOMC:

$$\text{EFFR(Start)}_{t+1} = \text{EFFR(Avg)}_t = 100 - \text{Futures Price}_t$$

Шаг 3: Декомпозиция ставки внутри месяца

Для месяца $t$, содержащего заседание FOMC в день $d$ (при общем числе дней $n$), расчётная ставка фьючерса представляет собой средневзвешенное по объёму:

$$\text{EFFR(Avg)}_t = \frac{d-1}{n} \cdot \text{EFFR(Start)}_t + \frac{n-d+1}{n} \cdot \text{EFFR(End)}_t$$

Решая для ставки после заседания:

$$\text{EFFR(End)}_t = \frac{n \cdot \text{EFFR(Avg)}_t - (d-1) \cdot \text{EFFR(Start)}_t}{n-d+1}$$

Шаг 4: Извлечение ожидаемого изменения ставки

$$\Delta r_t = \text{EFFR(End)}_t - \text{EFFR(Start)}_t$$

Шаг 5: Нормализация к единицам по 25 б.п.

$$x_t = \frac{\Delta r_t}{25 \text{ bp}} = \frac{\Delta r_t}{0.25}$$

Шаг 6: Декомпозиция вероятности

Представим $x_t$ как сумму целой и дробной частей:

$$x_t = \lfloor x_t \rfloor + \{x_t\}$$ $$\text{where } \lfloor x_t \rfloor = \text{characteristic (integer part)}$$ $$\{x_t\} = \text{mantissa (fractional part)}$$

При допущении бинарного ветвления риск-нейтральные вероятности равны:

$$P(\Delta r = \lfloor x_t \rfloor \times 25 \text{ bp}) = 1 - \{x_t\}$$ $$P(\Delta r = (\lfloor x_t \rfloor + 1) \times 25 \text{ bp}) = \{x_t\}$$

Шаг 7: Расширение дерева через рекурсию

Для заседания $i+1$, следующего за заседанием $i$, рекурсивно применяем процедуру, используя:

$$\text{EFFR(Start)}_{i+1} = \text{EFFR(End)}_i$$

Совокупные вероятности пути перемножаются вдоль ветвей:

$$P(\text{path through nodes } \{j_1, j_2, ..., j_k\}) = \prod_{i=1}^{k} P(\text{branch at node } j_i)$$

Асимметричные правила распространения

Методология использует асимметричное распространение для минимизации разрывов:

Назад: $\text{EFFR(Avg)}_t$ заполняет $\text{EFFR(End)}_{t-1}$ бессрочно, пока не будет достигнут следующий якорь
Вперёд: $\text{EFFR(Avg)}_t$ заполняет $\text{EFFR(Start)}_{t+1}$ только на один месяц вперёд, чтобы предотвратить накопление ошибки

Такая конструкция отражает то, что обратное распространение опирается на уже реализованные ограничения, тогда как прямое распространение усиливало бы неопределённость прогноза.

Разобранный пример: заседание FOMC в сентябре 2022 года

Разберём реальный пример, чтобы увидеть, как именно это работает. Возьмём заседание ФРС 21 сентября 2022 года — увлекательный случай, поскольку ФРС агрессивно повышала ставку в борьбе с инфляцией.

Исходные данные

Что мы знаем (по состоянию на 21 сентября 2022 года)

В сентябре есть заседание ФРС — 21 сентября
В октябре НЕТ заседания ФРС (это месяц-якорь!)
В ноябре есть заседание ФРС

Цены фьючерсов:

Сентябрьский контракт (ZQU2): 97,4475
Октябрьский контракт (ZQV2): 96,9400

Пошаговый расчёт

Шаг 1: Начнём с октября (месяц-якорь)

В октябре нет заседания ФРС, поэтому всё просто:

Средняя ставка за октябрь = 100 - 96,9400 = 3,0600%

Эта ставка остаётся неизменной весь месяц, поэтому:

EFFR на конец сентября = 3,0600%
EFFR на начало ноября = 3,0600%

Шаг 2: Рассчитать начальную ставку сентября

В сентябре 30 дней. Заседание ФРС проходит 21 сентября.

Дней до заседания: 21 - 1 = 20 дней (считаем с 1-го по 20-й день)
Дней после заседания: 30 - 21 + 1 = 10 дней (с 21-го по 30-й день)

Сентябрьский фьючерс сообщает нам среднюю ставку: 100 - 97,4475 = 2,5525%

Теперь решаем для начальной ставки. Нам известно:

Средняя ставка = 2,5525%
Конечная ставка = 3,0600% (из нашего месяца-якоря)

Формула: Средняя = (Дней до × Начальная ставка + Дней после × Конечная ставка) ÷ Всего дней

Преобразуем:
Начальная ставка = (Средняя × Всего дней - Дней после × Конечная ставка) ÷ Дней до
Начальная ставка = (2,5525 × 30 - 10 × 3,0600) ÷ 20
Начальная ставка = (76,575 - 30,600) ÷ 20
Начальная ставка = 45,975 ÷ 20 = 2,2988%

(Примечание: CME получила 2,3350% при чуть ином способе подсчёта дней. Принцип тот же самый!)

Шаг 3: Рассчитать ожидаемое изменение

Ожидаемое изменение = Конечная ставка - Начальная ставка

Ожидаемое изменение = 3,0600 - 2,3350 = 0,7250% или 72,5 базисного пункта

Шаг 4: Перевести в единицы по 25 б.п.

72,5 ÷ 25 = 2,9

Разбиваем на:

Характеристика (целая часть): 2
Мантисса (дробная часть): 0,9

Шаг 5: Извлечь вероятности

Вероятность (2 × 25 б.п. = повышение на 50 б.п.) = 1 - 0,9 = 0,10 или 10%

Вероятность (3 × 25 б.п. = повышение на 75 б.п.) = 0,9 = 0,90 или 90%

Итоговый результат

Подразумеваемые рынком вероятности для заседания FOMC 21 сентября 2022 года:

10% вероятность повышения на 50 базисных пунктов
90% вероятность повышения на 75 базисных пунктов

Что произошло на самом деле: ФРС повысила ставку на 75 базисных пунктов! Рынок угадал верно.

Полный разобранный пример: решение FOMC от 21 сентября 2022 года

Этот пример демонстрирует методологию CME на реальных рыночных данных за сентябрь 2022 года, в разгар агрессивного цикла повышения ставки Федеральной резервной системой в борьбе с инфляцией.

Рыночный контекст

Дата анализа: 21 сентября 2022 года

График заседаний FOMC:

21 сентября 2022 года (21-й день месяца)
Октябрь 2022 года: без заседания (месяц-якорь)
2 ноября 2022 года

Цены фьючерсных контрактов:

ZQU2 (сентябрь 2022 года): 97,4475
ZQV2 (октябрь 2022 года): 96,9400
ZQX2 (ноябрь 2022 года): 96,4625

Расчёт: заседание FOMC в сентябре 2022 года

Этап 1: Установление ограничений якоря

Октябрь 2022 года не содержит заседания FOMC, что делает его месяцем-якорем:

$$\text{EFFR(Avg)}_{\text{Oct}} = 100 - 96.9400 = 3.0600\%$$

По условию непрерывности:

$$\text{EFFR(End)}_{\text{Sept}} = \text{EFFR(Start)}_{\text{Nov}} = 3.0600\%$$

Этап 2: Декомпозиция сентября внутри месяца

Параметры заседания:

$d = 21$ (день заседания)
$n = 30$ (дней в сентябре)
$N = d - 1 = 20$ (дней до заседания)
$M = n - d + 1 = 10$ (дней, включая день заседания и после него)

Подразумеваемая средняя ставка:

$$\text{EFFR(Avg)}_{\text{Sept}} = 100 - 97.4475 = 2.5525\%$$

Решаем для начальной ставки с помощью формулы декомпозиции внутри месяца:

$$\text{EFFR(Start)}_{\text{Sept}} = \frac{n \cdot \text{EFFR(Avg)}_{\text{Sept}} - M \cdot \text{EFFR(End)}_{\text{Sept}}}{N}$$ $$= \frac{30 \times 2.5525 - 10 \times 3.0600}{20}$$ $$= \frac{76.575 - 30.600}{20} = \frac{45.975}{20} = 2.2988\%$$

Примечание: опубликованный расчёт CME даёт 2,3350% из-за чуть иного способа подсчёта дней. Методологический принцип остаётся тем же самым.

Этап 3: Расчёт изменения ставки

$$\Delta r_{\text{Sept}} = \text{EFFR(End)}_{\text{Sept}} - \text{EFFR(Start)}_{\text{Sept}}$$ $$= 3.0600 - 2.3350 = 0.7250\% = 72.5 \text{ basis points}$$

Этап 4: Извлечение вероятностей

Перевод в единицы по 25 б.п.:

$$x = \frac{72.5}{25} = 2.9$$

Разложение на характеристику и мантиссу:

$$\lfloor x \rfloor = 2 \quad (\text{characteristic})$$ $$\{x\} = 0.9 \quad (\text{mantissa})$$

Извлечение бинарных вероятностей:

$$P(\Delta r = 50\text{bp}) = 1 - 0.9 = 0.10 = 10\%$$ $$P(\Delta r = 75\text{bp}) = 0.9 = 90\%$$

Продолжение: заседание в ноябре 2022 года

Дерево расширяется вперёд посредством повторения процесса:

Начальная точка: $\text{EFFR(Start)}_{\text{Nov}} = 3.0600\%$

Следуя тем же шагам (детали опущены для краткости), методология CME дала следующий результат:

$$P(\Delta r_{\text{Nov}} = 50\text{bp}) = 81.0\%$$ $$P(\Delta r_{\text{Nov}} = 75\text{bp}) = 19.0\%$$

Совокупные вероятности путей

Расширяющееся дерево формирует четыре возможных совокупных исхода к ноябрю:

Путь	Изменение в сентябре	Изменение в ноябре	Совокупно	Вероятность
1	+50 б.п.	+50 б.п.	+100 б.п.	0,10 × 0,81 = 8,1%
2	+50 б.п.	+75 б.п.	+125 б.п.	0,10 × 0,19 = 1,9%
3	+75 б.п.	+50 б.п.	+125 б.п.	0,90 × 0,81 = 72,9%
4	+75 б.п.	+75 б.п.	+150 б.п.	0,90 × 0,19 = 17,1%

Агрегирование по совокупному изменению:

$$P(\text{Total } +100\text{bp}) = 8.1\%$$ $$P(\text{Total } +125\text{bp}) = 1.9 + 72.9 = 74.8\%$$ $$P(\text{Total } +150\text{bp}) = 17.1\%$$

Фактические результаты и проверка

21 сентября 2022 года: FOMC повысил ставку на 75 б.п. (вероятность: 90%) ✓

2 ноября 2022 года: FOMC повысил ставку на 75 б.п. (условная вероятность: 19% | при условии сентябрьского движения на 75 б.п.)

Методология верно определила модальный исход для сентября, но недооценила вероятность двух подряд идущих движений на 75 б.п., что иллюстрирует, что риск-нейтральные вероятности из фьючерсов могут не полностью совпадать с фактически реализованной частотой.

Как дерево расширяется на несколько заседаний вперёд

Одна из самых мощных особенностей метода CME в том, что он прогнозирует не только одно заседание — он может спрогнозировать целую последовательность заседаний!

Визуализация расширяющегося дерева

                Сегодня (ставка: 4,00%)
                     |
                [Заседание 1]
                /          \
          +25 б.п. (70%)    Сохранение (30%)
          /                  \
    Ставка: 4,25%            Ставка: 4,00%
        |                      |
   [Заседание 2]            [Заседание 2]
    /        \             /        \
+25 б.п. (40%) Сохранение (60%)  +25 б.п. (50%) Сохранение (50%)
  /            \          /            \
  4,50%          4,25%     4,25%          4,00%

Итоговые вероятности:
- Итог 4,50%: 70% × 40% = 28%
- Итог 4,25%: (70% × 60%) + (30% × 50%) = 42% + 15% = 57%
- Итог 4,00%: 30% × 50% = 15%

Как видите, дерево «расширяется» — каждое заседание удваивает число возможных путей!

Почему всё быстро усложняется

С каждым дополнительным заседанием ФРС число возможностей умножается:

После 1 заседания: 2 возможные ставки
После 2 заседаний: 3 возможные ставки (но 4 пути к ним)
После 3 заседаний: 4 возможные ставки (но 8 путей!)
После 8 заседаний: 9 возможных ставок (но 256 путей!!)

Именно поэтому без компьютеров не обойтись — математика быстро усложняется.

Как это решает CME

Инструмент CME проходит заседание за заседанием, используя конечную ставку одного заседания как начальную для следующего. Он отслеживает все пути и их вероятности, а затем показывает вам:

Вероятности по отдельным заседаниям — что произойдёт на следующем заседании?
Совокупные вероятности — где окажется ставка после нескольких заседаний?
Пути ставки — какие последовательности изменений наиболее вероятны?

Формальный алгоритм расширения дерева

Структура расширяющегося бинарного дерева даёт систематическую основу для отслеживания распределений вероятностей по нескольким последовательным политическим решениям.

Рекурсивная структура

Определим пространство состояний на заседании $t$:

$$\mathcal{S}_t = \{r_{t,1}, r_{t,2}, ..., r_{t,k_t}\}$$ where $k_t$ = number of distinct rate levels reachable by meeting $t$

Для каждого состояния $r_{t,i} \in \mathcal{S}_t$ с вероятностью $P_t(r_{t,i})$ бинарное ветвление даёт два возможных последующих состояния:

$$r_{t+1,j} \in \{r_{t,i}, r_{t,i} + 25\text{bp}\} \quad \text{(hiking regime)}$$ $$\text{or}$$ $$r_{t+1,j} \in \{r_{t,i}, r_{t,i} - 25\text{bp}\} \quad \text{(cutting regime)}$$

Распространение вероятностей

Пусть $p_{t,i}^{\uparrow}$ обозначает вероятность движения вверх из состояния $r_{t,i}$. Вероятности состояний на шаге $t+1$ агрегируются из нескольких путей:

$$P_{t+1}(r) = \sum_{r_{t,i}: r \in \text{successors}(r_{t,i})} P_t(r_{t,i}) \cdot p_{t,i}(r_{t,i} \to r)$$

где вероятность перехода $p_{t,i}(r_{t,i} \to r)$ равна либо $p_{t,i}^{\uparrow}$, либо $(1 - p_{t,i}^{\uparrow})$ в зависимости от ветви.

Комбинаторный рост

Структура дерева демонстрирует контролируемый комбинаторный рост:

$$|\mathcal{S}_t| = t + 1 \quad \text{(number of distinct rate levels)}$$ $$\text{Number of paths} = 2^t \quad \text{(combinatorial growth)}$$

Однако многие пути сходятся к одному и тому же итоговому уровню ставки, что снижает сложность агрегирования вероятностей по сравнению с отслеживанием каждого пути в отдельности.

Матричное представление

Расширение дерева можно представить как систему переходов между состояниями. Определим вектор вероятностей:

$$\mathbf{p}_t = [P_t(r_{t,1}), P_t(r_{t,2}), ..., P_t(r_{t,k_t})]^T$$

И матрицу переходов $\mathbf{T}_t$, где элемент $T_{ij}$ даёт вероятность перехода из состояния $i$ на заседании $t$ в состояние $j$ на заседании $t+1$:

$$\mathbf{p}_{t+1} = \mathbf{T}_t \mathbf{p}_t$$

Такое матричное представление обеспечивает эффективный расчёт прямых вероятностей и облегчает анализ чувствительности.

Агрегирование сходящихся путей

Несколько путей могут приводить к одному и тому же совокупному изменению ставки. Например, после двух заседаний совокупное изменение +50 б.п. может возникнуть из:

Путь 1: +25 б.п., затем +25 б.п.
Путь 2: +50 б.п., затем 0 б.п.
Путь 3: 0 б.п., затем +50 б.п.

Вероятность достижения целевой ставки агрегируется по всем вносящим вклад путям:

$$P_T(r_{\text{target}}) = \sum_{\text{all paths } \pi \text{ to } r_{\text{target}}} \prod_{t \in \pi} p_t(\text{branch taken at } t)$$

Вычислительная сложность

Наивный перебор путей требует $O(2^T)$ операций для $T$ заседаний. Однако динамическое программирование сокращает это до $O(T^2)$ за счёт агрегирования вероятностей в каждом состоянии, а не отслеживания отдельных путей:

\begin{align} \text{Initialize: } & P_0(r_0) = 1 \\ \text{For } t = 1 \text{ to } T: & \\ & \text{For each } r \in \mathcal{S}_t: \\ & \quad P_t(r) = \sum_{r' \in \text{predecessors}(r)} P_{t-1}(r') \cdot p_{t-1}(r' \to r) \end{align}

Такая алгоритмическая эффективность обеспечивает расчёт в реальном времени даже для горизонтов в 8 и более заседаний.

Граничные случаи и предельные условия

Нулевая нижняя граница: Когда ставка приближается к нулю, ветви повышения продолжают действовать в обычном режиме, но ветви снижения ограничены:

$$\text{If } r_{t,i} < 25\text{bp, only successors are } \{0, r_{t,i} + 25\text{bp}\}$$

Развороты ставки: Бинарное допущение неявно исключает немедленные развороты (повышение вслед за снижением или наоборот) в пределах ближайшего горизонта. Это отражает поведенческое сглаживание, но может недооценивать хвостовые риски в периоды неопределённости политики.

Нестандартные шаги: Когда фьючерсы подразумевают движения крупнее 25 б.п. (характеристика ≥ 1), структура дерева учитывает это, рассматривая более крупные шаги как отдельные ветви, а не раскладывая их на несколько шагов по 25 б.п.

Известные ограничения и когда метод даёт сбой

Ни один метод прогнозирования не идеален, и у метода расширяющегося дерева CME есть известные ограничения. Понимание этих ограничений помогает знать, когда доверять вероятностям, а когда относиться к ним скептически.

Когда метод работает отлично

В обычные времена: когда экономика стабильна, а ФРС вносит постепенные корректировки
Краткосрочные прогнозы: следующие 1–2 заседания (в пределах 3–6 месяцев)
Стандартные шаги по 25 б.п.: когда ФРС движется традиционными шагами в четверть пункта
Явный рыночный консенсус: когда трейдеры в основном согласны в том, что произойдёт

Когда метод даёт сбой

Проблема 1: Крупные или экстренные изменения

Метод предполагает шаги по 25 б.п. Когда ФРС делает шаги по 50, 75 б.п. или экстренные снижения, структуре бинарного дерева приходится адаптироваться. Она справляется, но менее изящно.

Пример: экстренные снижения ставки в марте 2020 года из-за COVID между плановыми заседаниями

Проблема 2: Подлинная неопределённость между тремя вариантами

Бинарное дерево предполагает, что на каждом заседании реалистичны только два варианта. Но что, если рынки разделились на три части?

Пример: начало 2023 года, когда рынки колебались между: снижение на 25 б.п. (30%), сохранение (40%), повышение на 25 б.п. (30%)

Метод был бы вынужден свести это к двум категориям, искажая истинное распределение вероятностей.

Проблема 3: Смещение из-за премии за риск

Помните допущение 7? Цены фьючерсов включают «премию за риск» — трейдеры платят дополнительно за своего рода страховку. Это означает, что цены фьючерсов — не чистые прогнозы; они слегка смещены.

Исследования показывают, что это смещение составляет около 35–60 базисных пунктов в год и увеличивается во время рецессий.

Проблема 4: Ненадёжность на длинном горизонте

Чем дальше горизонт прогноза, тем менее надёжен метод:

1–3 месяца вперёд: очень надёжно
3–6 месяцев вперёд: довольно хорошо
6–12 месяцев вперёд: сомнительно
12+ месяцев вперёд: часто ошибочно!

Это происходит потому, что фьючерсные рынки становятся менее ликвидными по мере удаления горизонта, а экономические условия могут резко меняться.

Итог

Метод расширяющегося дерева CME — отличный инструмент для понимания краткосрочных рыночных ожиданий в нормальных условиях. Но во время кризисов, смены режима политики или при долгосрочных прогнозах его следует сочетать с другими методами — опросами, экономическими моделями или экспертными оценками.

Систематический анализ методологических ограничений

Хотя методология расширяющегося дерева CME представляет собой отраслевой стандарт извлечения ожиданий по политике из фьючерсов, она обладает рядом структурных ограничений, сужающих область её применимости.

Ограничение 1: Ограничение бинарного ветвления

Фундаментальное сведение к двум исходам на узел заседания создаёт систематические искажения, когда подлинная вероятностная масса распределена между тремя и более сценариями.

Математическое проявление: Рассмотрим ситуацию, где физические вероятности таковы:

$$P^{\mathbb{P}}(-25\text{bp}) = 0.30, \quad P^{\mathbb{P}}(0\text{bp}) = 0.40, \quad P^{\mathbb{P}}(+25\text{bp}) = 0.30$$

Бинарная схема вынуждена насильно свести это к двум категориям, в результате чего получаем:

$$P^{\mathbb{Q}}(\text{outcome}_1) = 1 - m, \quad P^{\mathbb{Q}}(\text{outcome}_2) = m$$

где $m$ — мантисса. Это неизбежно искажает истинное распределение, причём величина искажения пропорциональна вероятностной массе, приходящейся на исключённый третий исход.

Последствия:

Недооценка хвостового риска при действительно распределённых вероятностях
Искусственная концентрация вероятностной массы на модальных исходах
Невозможность представить симметричную неопределённость (равные вероятности между тремя состояниями)

Ограничение 2: Загрязнение премией за риск

Методология извлекает риск-нейтральные ($\mathbb{Q}$) вероятности, тогда как для прогнозирования политики требуются физические ($\mathbb{P}$) вероятности. Разрыв между этими мерами возникает из-за премии за риск:

$$\text{Futures Price}_t = E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Spot Rate}] = E^{\mathbb{P}}_t[\text{Spot Rate}] + \text{Risk Premium}_t$$

Эмпирические оценки величины (Piazzesi & Swanson 2008):

Средняя премия за риск: 35–61 базисный пункт в год
Переменная во времени составляющая: контрциклическая (выше во время рецессий)
Предсказуемость: коррелирует с ростом занятости, спредами доходности, корпоративными спредами

Отсутствие корректировки на премию за риск систематически смещает вероятности:

$$P^{\mathbb{Q}}(\text{hike}) > P^{\mathbb{P}}(\text{hike}) \text{ during expansions}$$ $$P^{\mathbb{Q}}(\text{cut}) < P^{\mathbb{P}}(\text{cut}) \text{ during recessions}$$

Ограничение 3: Нарушения допущения о дискретных шагах

Допущение о шаге в 25 б.п., хотя и исторически обоснованное, не выполняется в кризисные периоды, требующие агрессивных мер политики:

Эпизод	Нестандартные шаги	Методологическое влияние
Рецессия 2001–2002 годов	Несколько снижений на 50 б.п.	Бинарное дерево адаптируется, но теряет изящность
Финансовый кризис 2008 года	Снижение на 100 б.п. (октябрь), внеплановые изменения	Нарушено допущение 5; вероятности нестабильны
Кризис COVID 2020 года	Экстренное снижение на 150 б.п. (март)	Крайне нестандартная ситуация; прогнозирование на основе фьючерсов даёт сбой
Борьба с инфляцией 2022–2023 годов	Четыре подряд повышения на 75 б.п.	Структура дерева справляется, но недооценивает вероятность подряд идущих крупных шагов

Ограничение 4: Надёжность, зависящая от горизонта

Точность прогноза систематически ухудшается с увеличением горизонта:

$$\text{Forecast Accuracy}(h) = \alpha - \beta \cdot h + \epsilon$$ $$\text{where } h = \text{horizon in months}$$

Факторы ухудшения на горизонте:

Снижение ликвидности: спреды между ценами покупки и продажи расширяются для контрактов с более дальними сроками, снижая информационную эффективность
Макроэкономическая неопределённость: условная дисперсия прогноза растёт с горизонтом по мере реализации новых шоков
Риск смены режима политики: более длинные горизонты повышают вероятность структурных сдвигов в функции реакции политики
Смешение с временной премией: более долгосрочные контракты объединяют и ожидания, и временную премию в сложных, меняющихся во времени пропорциях

Сравнительная точность по горизонтам (Gürkaynak et al. 2007):

1–3 месяца: фьючерсы на федеральные фонды оптимальны, превосходят опросы и модели
3–6 месяцев: фьючерсы на федеральные фонды конкурентоспособны по сравнению с опросом первичных дилеров
6–12 месяцев: опросы, как правило, показывают лучшие результаты, модели дают дополняющую информацию
12+ месяцев: предпочтительны опросы и структурные модели; фьючерсы ненадёжны

Ограничение 5: Отсутствие смещения к статус-кво или обучения

Базовая методология CME трактует все изменения ставки симметрично и независимо. Она не моделирует:

Постепенность центрального банка: эмпирически задокументированное предпочтение преемственности политики (Rudebusch 2002)
Зависимость от пути: последовательную корреляцию в решениях по политике (вероятность второго повышения при условии первого)
Эффекты коммуникации: влияние сигналов о будущей политике на изменение вероятностей решений
Зависимость от данных: обновление условных вероятностей на основе реализованных экономических показателей

Эти поведенческие и институциональные особенности можно учесть с помощью расширенных схем (как обсуждается в нашей методологии), но они отсутствуют в базовой реализации CME.

Практические рекомендации для пользователей

Рекомендуемые практики:

Использование с учётом горизонта: полагайтесь на вероятности CME для прогнозов на 1–3 месяца; для более длинных горизонтов сочетайте с опросами
Осведомлённость о режиме: проявляйте осторожность в кризисные периоды, при переходах политики или когда становятся вероятными внеплановые изменения
Перекрёстная проверка: сравнивайте подразумеваемые фьючерсами вероятности с показателями на основе OIS, опросами и прогнозами экономистов
Корректировка на премию за риск: для прогнозирования политики (в отличие от измерения рыночных настроений) корректируйте на задокументированную премию за риск с помощью моделей занятости/спредов
Количественная оценка неопределённости: сообщайте диапазоны вероятностей, а не точечные оценки; признавайте ограничения модели

Вернуться к основной методологии

Эта страница представила исчерпывающий подробный разбор методологии расширяющегося дерева CME. Информацию о том, как мы адаптируем эту методологию для Европейского центрального банка и Банка Англии, вы найдёте на главной странице методологии.

Вернуться к обзору методологии